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Exemples de calcul de surfaces et de volumes

Article posté le 29-05-2014 dans la catégorie Maths

Utiles pour le bricolage, mais pas toujours en tête...

Nécessaires que vos bambins l'apprennent à l'école primaire ou au collège, mais étrangement, n'y arrivent pas...

Voici donc quelques exemples "concrets" pour que vous puissiez retenir ces méthodes de calcul bien utiles...

1- Sphères et boules

Pour commencer avec tout ce qui est rond, pas la peine de "chercher midi à quatorze heures". Nous vivons sur un immense vaisseau spatial sphérique : la planète Terre.

Bien que pas tout à faire sphérique (elle est en faite légèrement tassée aux pôles), et bien que sa matière soit irrégulèrement répartie (enlevez l'eau des océans, et il est évident que la terre est tout sauf une sphère parfaite), nous allons prendre "notre petit chez nous" comme exemple pour ces premiers calculs.

A- Calculer la surface d'un cercle

Imaginons que nous découpions notre planète en fines lamelles, à l'image d'une pomme par exemple, et ce de manière à ce que la lamelle la plus grande ait les dimensions les plus grande de la planète, donc celle la plus au milieu. Nous voulons ainsi calcul la surface de cette lamelle, de ce cercle.

Formule :

πR² 

Donc

π fois le rayon élevé au carré

Sachant que le rayon de la terre fait 6400 km (arrondi pour simplifier)

La surface de notre cercle fait π x 6400² = 128614400 km² =

12861,44 x 10^4 km²

B- Calcul du volume d'une sphère

Calculons maintenant le volume de notre planète. Imaginons que ce soit une réservoir que l'on veuille remplir d'un liquide. Il faut dont calculer son volume pour savoir combien de litres nous pouvons mettre à l'intérieur.

Formule :

( 4πR³ ) / 3

soit

(4 fois π fois le rayon élevé au cube) le tout divisé par trois.

Donc dans notre cas :

(4 x π x 6400³ ) / 3

1097509546666,66 km3

soit

1097509546666660 m3

soit

1097509546666660000 litres OUF !

C'est un poil plus lisible comme ceci :

109750954666,666 x 10^7 litres

C- Circonférence d'un cercle

Notre Terre a donc un sacré volume dans son ventre. C'est donc intéressant de connaitre sa circonférence, donc son "tour de taille".

Formule :

Circonférence = πD soit π fois le diamètre soit 2πR soit  2 fois π fois le rayon du cercle

Dans notre cas :

2 x π x 6400

= 40192 km

D- Surface d'une sphère

Pour finir, si on voulait recouvrir la terre de papier peint, quelle surface nous faudrait-il?

Surface d'une sphère = 4π × r²

Donc :

4π × 6400²

= 514457600 km²

= 514457,6 x 10^3 km²

 

2- Le cas d'une ellipse...

Comme vous le savez, tout petit on vous apprend à l'école que les planètes tournent autour du soleil. Sans que vous ayez besoin de vous l'imaginez, on vous dessine de beaux cercles...

ERREUR !

Les planètes ne tournent pas en suivant le tracé de beaux cercles, mais en faisant des éllipses (cercles étirés) avec plus ou moins d'excentricité (niveau de la déformation du cercle).

Il faut connaître deux termes avec les ellipses :

A- Circonférence d'une ellipse

C'est très simple! Rapplez vous que pour un cercle parfait, la formule est π x le diamètre!

Ici , les deux diamètres sont différents. Il faut donc les équilibrer : un prend le petit rayon et on l'additionne avec le grand rayon, ce qui donne :

D = R1 (petit rayon) + R2 (grand rayon)

Circonférence = π x D

B- Surface de l'ellipse

Surface = π x R1 x R2

 

3- Triangle et pyramide

Il n'y a pas d'histoire de ce côté là... En effet un triangle n'est qu'un demi rectangle. Il faut donc faire comme tel et diviser par deux :

Surface du triangle = (Base x  hauteur ) / 2

Pour le volume d'une pyramide à base carrée : 

Volume de la pyramide = (Aire * la hauteur ) / 3

 

4- Cone : le cousin de la pyramide

Surface : L x π x R

 

Volume : π/3 x R² x h

 

5- Cylindre

 Surface : 2π x Rayon x h

 

Volume : π x r² x h

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